Angulo formado por duas retas

Vamos considerar duas retas concorrentes r e s oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si, de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente. Elas formam entre si o ângulo α.

Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo: Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:


Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.mundoeducacao.com/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm

Distancia de um ponto a uma reta

A distancia de um ponto A a uma reta r é a medida do segmento de extremidades em A e B, em que B é a projeção ortogonal de A sobre r.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.

Exemplo: Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6

 

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm

Profissionalizando a matematica - Geometria Analitica

Equação da reta quando são conhecidos um ponto Po (Xo,Yo) e a declividade m da reta

Já vimos que dois pontos distintos determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto Po (Xo, Yo) e a declividade m determinam uma reta r. Considerando P  (x,y) um ponto genérico dessa reta, veremos que se pode chegar a uma equação de incógnitas x e y, a partir dos números Xo, Yo e m, que será chamada equação da reta r.

Obs.: 
1º. A equação y-yo = m ( x-xo) independe de m ser positivo ou negativo e da localização do ponto Po.
2º. Se a reta é paralela ao eixo x, temos m =0 e a equação da reta será dada por y=yo.
3º. Se a reta é paralela ao eixo y, todos os pontos da reta têm a mesma abscissa e a equação será
dada por x-xo.

Exemplos: Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (-1,4) e tem coeficiente angular2.
Usando a equação (y-yo)= m (x-xo), temos:

y-4 = 2(x-(-1))   →   y-4=2(x+1)   →   y-4=2x+2   →   -2x+y-6=0  →  2x-y+6=0

A equação procurada é 2x-y+6=0

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

Inclinação da reta e o seu coeficiente angular

Determinamos uma reta no plano cartesiano conhecendo dois pontos distintos, mas também é possível ser determinada conhecendo apenas um ponto e um ângulo, pois uma reta s intercepta o eixo Ox em um ponto M formando um ângulo α.

O ângulo α é formado pela reta r e por um ponto do eixo Ox localizado à direita do ponto M. A sua medida irá variar entre 0°≤ α < 180°.

Esse ângulo é a inclinação da reta e a sua tangente é o valor do seu coeficiente angular. Sendo que só será possível encontrar o seu coeficiente angular quando a reta não for vertical, ou seja, o valor de α deverá ser diferente de zero.

Exemplo1:

Inclinação da reta s igual a 60º.
Coeficiente angular igual a m = tg 60° = √3.

Exemplo2:

Inclinação da reta s igual a 0°, pois é paralela ao eixo Ox.
Coeficiente angular igual a m = tg0º = 0.

Exemplo3:

Inclinação da reta é igual a 90°.
Não terá como encontrar o valor do coeficiente angular da reta s quando a inclinação for igual a 90°, pois não é possível encontrar o valor da tangente de 90°.

Fonte:

http://www.brasilescola.com/matematica/inclinacao-reta-seu-coeficiente-angular.htm

Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

A = 1/2 . |D|, ou seja, |D| / 2, considerando D = .

Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados.

Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se o determinante correspondente a eles   for igual a zero. 

Exemplo1: Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).
Solução:
O determinante referente a esses pontos é . Para que sejam colineares, o valor desse determinante deve ser igual à zero.

= 10 + 1 – 6 – 5 = 9 – 6 – 5 = 5 – 5 = 0

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados.

Exemplo2.: Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal
2 . (–1) . 1 = –2
2 . 1 . (–3) = –6
1 . (–3) . 1 = –3

Diagonal secundária

1 . (–1) . (–3) = 3
2 . 1 . 1 = 2
2 . (–3) . 1 = –6

(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6)
– 11 – (–1)
– 11 + 1 = – 10


Exemplo3.:Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal

2 . 7 . 1 = 14
5 . 1 . 5 = 25
1 . 3 . 11 = 33

Diagonal secundária
1 . 7 . 5 = 35
2 . 1 . 11 = 22
5 . 3 . 1 = 15

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-utilizando-determinantes.htm

Área de um Triângulo

Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analítica. Assim, considere três pontos quaisquer, não colineares, A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Como esses pontos não são colineares, ou seja, não estão numa mesma reta, eles determinam um triângulo. A área desse triângulo será dada por:



Observe que a área será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.

Exemplo1: Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).
Solução: Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Teremos:



Assim, obtemos:

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.

Exemplo2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).
Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.


Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.
Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então,

Fonte: 

http://www.brasilescola.com/matematica/area-um-triangulo.htm