Angulo formado por duas retas

Vamos considerar duas retas concorrentes r e s oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si, de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente. Elas formam entre si o ângulo α.

Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo: Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Para a reta r, temos:

x - y = 0
y = x

Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:


Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.mundoeducacao.com/matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm

Distancia de um ponto a uma reta

A distancia de um ponto A a uma reta r é a medida do segmento de extremidades em A e B, em que B é a projeção ortogonal de A sobre r.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.

Exemplo: Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6

 

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm

Profissionalizando a matematica - Geometria Analitica

Equação da reta quando são conhecidos um ponto Po (Xo,Yo) e a declividade m da reta

Já vimos que dois pontos distintos determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto Po (Xo, Yo) e a declividade m determinam uma reta r. Considerando P  (x,y) um ponto genérico dessa reta, veremos que se pode chegar a uma equação de incógnitas x e y, a partir dos números Xo, Yo e m, que será chamada equação da reta r.

Obs.: 
1º. A equação y-yo = m ( x-xo) independe de m ser positivo ou negativo e da localização do ponto Po.
2º. Se a reta é paralela ao eixo x, temos m =0 e a equação da reta será dada por y=yo.
3º. Se a reta é paralela ao eixo y, todos os pontos da reta têm a mesma abscissa e a equação será
dada por x-xo.

Exemplos: Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (-1,4) e tem coeficiente angular2.
Usando a equação (y-yo)= m (x-xo), temos:

y-4 = 2(x-(-1))   →   y-4=2(x+1)   →   y-4=2x+2   →   -2x+y-6=0  →  2x-y+6=0

A equação procurada é 2x-y+6=0

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

Inclinação da reta e o seu coeficiente angular

Determinamos uma reta no plano cartesiano conhecendo dois pontos distintos, mas também é possível ser determinada conhecendo apenas um ponto e um ângulo, pois uma reta s intercepta o eixo Ox em um ponto M formando um ângulo α.

O ângulo α é formado pela reta r e por um ponto do eixo Ox localizado à direita do ponto M. A sua medida irá variar entre 0°≤ α < 180°.

Esse ângulo é a inclinação da reta e a sua tangente é o valor do seu coeficiente angular. Sendo que só será possível encontrar o seu coeficiente angular quando a reta não for vertical, ou seja, o valor de α deverá ser diferente de zero.

Exemplo1:

Inclinação da reta s igual a 60º.
Coeficiente angular igual a m = tg 60° = √3.

Exemplo2:

Inclinação da reta s igual a 0°, pois é paralela ao eixo Ox.
Coeficiente angular igual a m = tg0º = 0.

Exemplo3:

Inclinação da reta é igual a 90°.
Não terá como encontrar o valor do coeficiente angular da reta s quando a inclinação for igual a 90°, pois não é possível encontrar o valor da tangente de 90°.

Fonte:

http://www.brasilescola.com/matematica/inclinacao-reta-seu-coeficiente-angular.htm

Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

A = 1/2 . |D|, ou seja, |D| / 2, considerando D = .

Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados.

Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se o determinante correspondente a eles   for igual a zero. 

Exemplo1: Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).
Solução:
O determinante referente a esses pontos é . Para que sejam colineares, o valor desse determinante deve ser igual à zero.

= 10 + 1 – 6 – 5 = 9 – 6 – 5 = 5 – 5 = 0

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados.

Exemplo2.: Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal
2 . (–1) . 1 = –2
2 . 1 . (–3) = –6
1 . (–3) . 1 = –3

Diagonal secundária

1 . (–1) . (–3) = 3
2 . 1 . 1 = 2
2 . (–3) . 1 = –6

(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6)
– 11 – (–1)
– 11 + 1 = – 10


Exemplo3.:Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal

2 . 7 . 1 = 14
5 . 1 . 5 = 25
1 . 3 . 11 = 33

Diagonal secundária
1 . 7 . 5 = 35
2 . 1 . 11 = 22
5 . 3 . 1 = 15

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-utilizando-determinantes.htm

Área de um Triângulo

Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analítica. Assim, considere três pontos quaisquer, não colineares, A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Como esses pontos não são colineares, ou seja, não estão numa mesma reta, eles determinam um triângulo. A área desse triângulo será dada por:



Observe que a área será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C.

Exemplo1: Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).
Solução: Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Teremos:



Assim, obtemos:

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.

Exemplo2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).
Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.


Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.
Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então,

Fonte: 

http://www.brasilescola.com/matematica/area-um-triangulo.htm

Área de uma região triangular através do determinante

A expressão para o cálculo de área de uma região triangular é conhecida desde os primeiros passos da geometria na escola. Entretanto, quando mesclamos este conceito com a geometria analítica é necessário abarcarmos também conceitos do cálculo de determinantes.

Bem, sabemos que os elementos que fundamentam a geometria analítica são os pontos e suas coordenadas, já que através destes podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas de figuras planas.
Dentre os cálculos das áreas de figuras planas, existe uma expressão que determina a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.
Portanto, consideremos um triângulo com vértices de coordenadas quaisquer e assim vejamos como calcular a área desse triângulo apenas com as coordenadas dos seus vértices.

O parâmetro D é determinado pela matriz das coordenadas dos vértices do triângulo ABC.



Note que o parâmetro D é a mesma matriz determinante para verificar a condição de alinhamento de três pontos.

Assim sendo, caso você verifique a área de um suposto triângulo e o determinante dê zero, saiba que na verdade esses três pontos não constituem um triângulo, pois estão alinhados (por isso a área é zero).

Uma observação importante em relação à expressão para o cálculo da área é quanto ao Parâmetro D estar em módulo, ou seja, usaremos o seu valor absoluto. Por se tratar de área, não devemos adotar um determinante negativo, pois isso resultará em uma área negativa e isso não existe.

Vejamos um exemplo para uma melhor compreensão:

“Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A (4,0), B (0,0) e C (2,2)”.

Portanto, a área da região triangular do triângulo ABC é de 4 u.a (unidades de área).

Fonte:

http://www.brasilescola.com/matematica/Area-uma-regiao-triangular-atraves-determinante.htm

Forma Segmentária da Reta

A forma segmentária da reta é dada por:
 x + y = 1
a     b

Exemplo: Escreva a forma segmentária da reta que passa pelos pontos A (-5,7) e B (-3,12)

a= ∆y    → a = 7-12  →  a= -5   → a = 5 
     ∆x             -5-(-3)           -2             2

y-yo = a (x-xo)
y -7 = 5/2  (x-(-5)
y -7 = 5/2  (x+5)
y -7 = 5x/2  + 25/2 → 2y -14/2   → 5x + 25/2

2y-14 = 5x+25
-5x+2y = 25+14
-5x +2y = 39
-5x/39 + 2y/39 = 1

x/39/-5  + y/39/2  = 1      → x/-39/5  + y/39/2  = 1

Posição Relativa entre 2 retas no plano 

I. Paralelas - duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
Dadas as retas:
 r : y = arx + br    e
 s: y = asx + bs então as retas r e s são paralelas ( r//s) se ar = as

II. Concorrentes - duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.
Dadas as retas:
r : y =arx + br        e
s : y= asx + bs são concorrentes se ar /=/ as

Obs.: Retas perpendiculares - Dadas as retas:
                                              r : y= arx + br         e
                                              s : y= asx + bs são perpendiculares (r |_ s) se as . ar = -1

III. Coincidentes - pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

Exemplo1: Diga se as retas abaixo são paralelas ou perpendiculares.
a) s : 3x - 8y + 15 = 0
    r : 15x - 40y - 9=0

b) s : 2x - 3y - 9 =0
    r : 18x + 12y + 13 = 0

R- 

 a)  s : 3x - 8y +15 =0                                             r : 15x - 40y - 9 =0
         -8y = -3x -15    (-1)                                            -40y = -15x + 9     (-1)
          8y= 3x + 15                                                     40y = 15x - 9
       y= 3x/8  + 15/8     → as : 3/8                               y = 15x/40 - 9/40   →   y= 3x/8 - 9/40   → ar : 3/8
                                                           

ar = as, então r é paralela a s, ou r//s

b) s : 2x- 3y- 9 = 0                                                 r : 18x + 12y + 13 =0
       -3y = -2x + 9    (-1)                                                               12y = -18x - 13
        3y = 2x -9                                                            y = -18x/12 -13/12  →   y= -3x/2 - 13/12

         y= 2x/3 - 9/3    → y=  2x/3 - 3
as : 2/3                                                               ar: -3/2 

ar . as = -3/2 . 2/3  = -6/6  = -1    daí r e s são perpendiculares (r |_ s)

         REFERÊNCIA:

PROFESSOR DE MATEMÁTICA SERVA

FEITO EM SALA

03/12/2013

Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.
Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:





Geometricamente:

Fonte:

 http://www.mundoeducacao.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

Formula da distância entre dois pontos

Podemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam  A(X1, Y1) e B ( X2,Y2).

O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras:

Concluímos então, que a distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tal que A(X1,Y1) e B(X2,Y2), é  dada por: 

Exemplos: 

Um ponto P (a,2) é equidistante dos pontos A(3,1) e B (2,4). Vamos calcular a abscissa do ponto P.

Como P é equidistante de A e B, devemos ter:

d(P,A) = d(P,B)   →→

(3-a)² + 1= (2-a)² + 4 → 9-6a+ a² + 1= 4-4a+ a² + 4 → -6a +4a= 4+4-9-1 → -2a= -2→ 2a= 2→  a= 1

Então, a abscissa do ponto P é 1.

Observação: É útil notar que duas distâncias entre dois pontos são iguais se, e somente se, seus quadrados também o são. Portanto, muitas vezes, a extração da raiz quadrada é desnecessária.

Nesse exemplo, poderíamos ter iniciado assim:

d(P,A) = d(P,A) → [d(P,A)]² = [d(P,B)]²  → (3-a)²  + 1= (2-a)² + 4 → 9- 6a + a² +1 = 4- 4a + a² + 4 → -2a = -2 →  a = 1

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

Sistema Cartesiano Ortogonal

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 
Eixo das abscissas: reta x. 
Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 

O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 

O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. 

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas. 

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 

O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Fonte: 

http://www.brasilescola.com/matematica/sistema-cartesiano-ortogonal.htm

Geometria Analítica

Está calcada na ideia de representar os pontos da reta por números reais e os pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as linhas no plano (reta,circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas.

Essa integração  entre Geometria e Álgebra foi responsável por grandes progressos na Matemática e nas outras ciências em geral.

Estudaremos várias figuras ( incluindo as que não representam função) e suas propriedades geométricas por meio de processos algébricos ( equações, inequações, sistemas, etc.).

Uma função f: |R → |R, definida  por f(x)= ax+b ( ou y = ax+b), com a  E |R  e b  E |R, tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo y.

Pela equação é possível estudar propriedades dessa reta, assim como, a partir de uma propriedade da reta, pode-se identificar uma equação.

Exemplos: 

1º A reta de equação y = 3x + 7 é paralela á reta de equação y = 3x - 8

2º Se a reta passa pela origem O (0,0), entao sua equação é da forma y = ax ou y = ax + b, com b=0.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;