Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.
Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:





Geometricamente:

Fonte:

 http://www.mundoeducacao.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

Formula da distância entre dois pontos

Podemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam  A(X1, Y1) e B ( X2,Y2).

O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras:

Concluímos então, que a distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tal que A(X1,Y1) e B(X2,Y2), é  dada por: 

Exemplos: 

Um ponto P (a,2) é equidistante dos pontos A(3,1) e B (2,4). Vamos calcular a abscissa do ponto P.

Como P é equidistante de A e B, devemos ter:

d(P,A) = d(P,B)   →→

(3-a)² + 1= (2-a)² + 4 → 9-6a+ a² + 1= 4-4a+ a² + 4 → -6a +4a= 4+4-9-1 → -2a= -2→ 2a= 2→  a= 1

Então, a abscissa do ponto P é 1.

Observação: É útil notar que duas distâncias entre dois pontos são iguais se, e somente se, seus quadrados também o são. Portanto, muitas vezes, a extração da raiz quadrada é desnecessária.

Nesse exemplo, poderíamos ter iniciado assim:

d(P,A) = d(P,A) → [d(P,A)]² = [d(P,B)]²  → (3-a)²  + 1= (2-a)² + 4 → 9- 6a + a² +1 = 4- 4a + a² + 4 → -2a = -2 →  a = 1

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

Sistema Cartesiano Ortogonal

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 
Eixo das abscissas: reta x. 
Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 

O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 

O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. 

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas. 

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 

O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.

Fonte: 

http://www.brasilescola.com/matematica/sistema-cartesiano-ortogonal.htm

Geometria Analítica

Está calcada na ideia de representar os pontos da reta por números reais e os pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as linhas no plano (reta,circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas.

Essa integração  entre Geometria e Álgebra foi responsável por grandes progressos na Matemática e nas outras ciências em geral.

Estudaremos várias figuras ( incluindo as que não representam função) e suas propriedades geométricas por meio de processos algébricos ( equações, inequações, sistemas, etc.).

Uma função f: |R → |R, definida  por f(x)= ax+b ( ou y = ax+b), com a  E |R  e b  E |R, tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo y.

Pela equação é possível estudar propriedades dessa reta, assim como, a partir de uma propriedade da reta, pode-se identificar uma equação.

Exemplos: 

1º A reta de equação y = 3x + 7 é paralela á reta de equação y = 3x - 8

2º Se a reta passa pela origem O (0,0), entao sua equação é da forma y = ax ou y = ax + b, com b=0.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

Profissionalizando a matemática (:

Medidas de dispersão

vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas:

Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.



Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.

Ex.:

Em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos:

Alunos	Conceito na Prova
1	4,3
2	4,5
3	9
4	6
5	8
6	6,7
7	7,5
8	10
9	7,5
10	6,3
11	8
12	5,5
13	9,7
14	9,3
15	7,5
Total	109,8
Média	7,32
Desvio Padrão	1,77

Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina7.php

Medidas de tendencia Central

As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.

Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana	1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda	Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).

A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.

A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.

Moda (MO)

Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

 Mediana (ME)

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

Considerações a respeito de Média e Mediana

Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina5.php

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

A frequência absoluta, ou apenas frequência, de um valor é o número de vezes que uma determinada variável assume esse valor. Ao conjunto das frequências dos diferentes valores da variável dá-se o nome de distribuição da frequência (ou apenas distribuição).

A frequência relativa, é a percentagem relativa à frequência.

Exemplo01: Consideremos a seguinte tabela

Nome	Sexo	Nome	Sexo
Paula	F	Gonçalo	M
Manuel	M	Pedro	M
Carla	F	Cristina	F
Maria	F	Sofia	F
João	M	Susana	F

Sexo Masculino: Frequência absoluta : 4

                             Frequência relativa: 4 em 10 = 40%

Sexo Feminino: Frequência absoluta : 6

                             Frequência relativa: 6 em 10 = 60%

Assim a tabela de frequências da variável Sexo será: 

variável	freq. absoluta (n)	freq. relativa (%)
Sexo
M	4	40%
F	6	60%
Total	10	100%

Exemplo02: A variável é “nacionalidade” e a freqüência absoluta de cada um de seus valores é: brasileira = 6; espanhola = 3 e argentina = 1. Existe também a freqüência relativa, que registra a freqüência absoluta em relação ao total de citações. Nesse exemplo temos: 

- freqüência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 6/10 ou 0,6 ou 60%.

- freqüência relativa da nacionalidade espanhola:3 em 10 ou 3/10 ou 0,3 ou 30%. 

- freqüência relativa da nacionalidade argentina:1 em 10 ou 1/10 ou 0,1 ou 10%.

TABELA DE FREQUÊNCIAS:

 A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absolutas (FA) e relativas (FR), é chamada de Tabela de Frequências. Assim, continuando com o mesmo exemplo, temos: 

Nacionalidade	FA	FR
Brasileira	6	60%
Espanhola	3	30%
Argentina	1	10%
TOTAL	10	100%

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/tfrequencia.html