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Medidas de dispersão

vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas:

Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.



Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.

Ex.:

Em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos:

Alunos	Conceito na Prova
1	4,3
2	4,5
3	9
4	6
5	8
6	6,7
7	7,5
8	10
9	7,5
10	6,3
11	8
12	5,5
13	9,7
14	9,3
15	7,5
Total	109,8
Média	7,32
Desvio Padrão	1,77

Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina7.php

Medidas de tendencia Central

As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.

Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana	1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda	Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).

A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.

A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.

Moda (MO)

Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

 Mediana (ME)

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

Considerações a respeito de Média e Mediana

Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.somatematica.com.br/estat/basica/pagina5.php

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

A frequência absoluta, ou apenas frequência, de um valor é o número de vezes que uma determinada variável assume esse valor. Ao conjunto das frequências dos diferentes valores da variável dá-se o nome de distribuição da frequência (ou apenas distribuição).

A frequência relativa, é a percentagem relativa à frequência.

Exemplo01: Consideremos a seguinte tabela

Nome	Sexo	Nome	Sexo
Paula	F	Gonçalo	M
Manuel	M	Pedro	M
Carla	F	Cristina	F
Maria	F	Sofia	F
João	M	Susana	F

Sexo Masculino: Frequência absoluta : 4

                             Frequência relativa: 4 em 10 = 40%

Sexo Feminino: Frequência absoluta : 6

                             Frequência relativa: 6 em 10 = 60%

Assim a tabela de frequências da variável Sexo será: 

variável	freq. absoluta (n)	freq. relativa (%)
Sexo
M	4	40%
F	6	60%
Total	10	100%

Exemplo02: A variável é “nacionalidade” e a freqüência absoluta de cada um de seus valores é: brasileira = 6; espanhola = 3 e argentina = 1. Existe também a freqüência relativa, que registra a freqüência absoluta em relação ao total de citações. Nesse exemplo temos: 

- freqüência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 6/10 ou 0,6 ou 60%.

- freqüência relativa da nacionalidade espanhola:3 em 10 ou 3/10 ou 0,3 ou 30%. 

- freqüência relativa da nacionalidade argentina:1 em 10 ou 1/10 ou 0,1 ou 10%.

TABELA DE FREQUÊNCIAS:

 A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absolutas (FA) e relativas (FR), é chamada de Tabela de Frequências. Assim, continuando com o mesmo exemplo, temos: 

Nacionalidade	FA	FR
Brasileira	6	60%
Espanhola	3	30%
Argentina	1	10%
TOTAL	10	100%

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/tfrequencia.html

Termos de uma pesquisa Estatística

População é o conjunto de elementos, número de pessoas de uma cidade.

Amostra é a parte representativa de uma população.

Variável é uma medida que pode tomar vários valores. 

Talvez seja difícil de entender assim, mas vamos ver os exemplos de abaixo:

Quantos irmãos você tem?
Quanto de altura sua mãe tem?

Essas duas perguntas são variáveis, ou seja, podem tomar diversos valores.
As variáveis podem ser Quantitativas, quando se trata de números como os dois exemplos acima. As variáveis quantitativas podem ser discretas, quando se trata de contagem (números inteiros), ou contínuas, quando se trata de medida (números reais).

 Ou

Qualitativas quando se trata de letras, como por exemplo:

Qual é o teu programa de TV favorito?

Qual seu esporte favorito?

Além disso, dizemos que as variáveis qualitativas podem ser ordinais, quando existe uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando isso não ocorre.

Vemos o quadro-resumo dos tipos de variável:

Exercícios

1- Uma concessionaria de automóveis tem cadastrados 3 500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferencia de compra em relação a "cor" (branca, vermelha ou azul), "preço", "numero de portas" ( duas ou quatro ) e "estado de conservação" ( novo ou usado ). Foram consultados 210 clientes. Diante dessas informações responda:

a) Qual é o universo estatístico e qual é a amostra dessa pesquisa?
b) Quais são os possíveis valores da variável "cor" nessa pesquisa?

RESOLUÇÃO:

a) U= clientes cadastrados em uma concessionaria de automóveis, onde U=3500 (U: numero de cadastros) e  M= amostra, onde M esta contido em U e M=210 clientes.

b) A variável cor, tem 3 opções de escolha, branca (B), vermelha (V) e azul (A). Os valores possíveis para cada opção são:
B de 0 a 210
V de 0 a 210
A de 0 a 210


-


2- (ENEM2011)A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
A) 14,6%
B) 18,2%
C) 18,4%
D) 19,0%
E) 21,0%


RESOLUÇÃO:
Para descobrir o percentual médio de medalihista de ouro de 2005 a 2009 da OBMEP referente a região Nordeste é necessário somar os percentuais dessa regiao em cada ano e dividir pelos 5 anos.
Verifique na tabela esses percentuais:
Nordeste → 18%, 19%, 21%, 15% e 19%

Portanto, o gabarito será letra C.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/estatistica-1.htm

O que é Estatística?

A palavra ESTATÍSTICA, significa ''pesquisa'', "análise de dados" são teorias para explicar a frequência da ocorrência de eventos.

A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha da amostra, a coleta e organização dos dados (informações), o resumo desses dados ( em tabelas, gráficos, etc) e a interpretação dos resultados. 
Se quisermos saber, qual a matéria favorita entre os alunos de uma classe, podemos consultar todos os alunos da classe.  No entanto, isso não é possível quando queremos pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores do estado da Bahia, pois não podemos consultar todos os eleitores que constituem a população ou o universo estatístico, então recorremos ao que se chama amostra (ou grupo de eleitores), que consultados, permitem que se chegue ao resultado mais próximo da realidade.

temos:

Fonte:  Matemática

            Contexto & Aplicações

            Livro - Dante volume 3