Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma:

A = 1/2 . |D|, ou seja, |D| / 2, considerando D = .

Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados.

Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se o determinante correspondente a eles   for igual a zero. 

Exemplo1: Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados).
Solução:
O determinante referente a esses pontos é . Para que sejam colineares, o valor desse determinante deve ser igual à zero.

= 10 + 1 – 6 – 5 = 9 – 6 – 5 = 5 – 5 = 0

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados.

Exemplo2.: Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal
2 . (–1) . 1 = –2
2 . 1 . (–3) = –6
1 . (–3) . 1 = –3

Diagonal secundária

1 . (–1) . (–3) = 3
2 . 1 . 1 = 2
2 . (–3) . 1 = –6

(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6)
– 11 – (–1)
– 11 + 1 = – 10


Exemplo3.:Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Solução:

Diagonal principal

2 . 7 . 1 = 14
5 . 1 . 5 = 25
1 . 3 . 11 = 33

Diagonal secundária
1 . 7 . 5 = 35
2 . 1 . 11 = 22
5 . 3 . 1 = 15

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

Fonte: Matemática

Contexto & Aplicações

Livro - Dante volume 3;

http://www.brasilescola.com/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos-utilizando-determinantes.htm